什么是白噪声？如何判断时间序列是白噪声？
2025-10-07 17:07:51什么是白噪声
{
e
0
,
e
1
,
.
.
.
,
e
t
,
.
.
.
}
\{e_0, e_1, ..., e_t, ...\}
{e0,e1,...,et,...}是白噪声的三个条件：
E
(
e
t
)
=
0
E(e_t)=0
E(et)=0
V
a
r
(
e
t
)
=
σ
2
Var(e_t)=\sigma^2
Var(et)=σ2当
k
≠
0
k\neq0
k̸=0时，
C
o
v
(
e
t
,
e
t
+
k
)
=
0
Cov(e_t, e_{t+k})=0
Cov(et,et+k)=0
按照上述定义，白噪声是一种特殊的弱平稳过程，通常时间序列分析到白噪声这一层就没什么好分析的了。
为什么我们希望白噪声是高斯白噪声？
其实，我们希望的白噪声序列
{
e
0
,
e
1
,
.
.
.
,
e
t
,
.
.
.
}
\{e_0, e_1, ..., e_t, ...\}
{e0,e1,...,et,...}，是相互独立的（这时
{
e
t
}
\{e_t\}
{et}序列是严平稳的）。但是独立性是很难验证出来的，我们只能验证相关性。
{
e
i
,
e
j
}
\{e_i, e_j\}
{ei,ej}不相关并不意味着
e
i
e_i
ei和
e
j
e_j
ej的生成是独立的。见这里的不相关却不独立的例子。
然而，当
{
e
t
}
\{e_t\}
{et}序列是高斯的，且
{
e
i
,
e
j
}
\{e_i, e_j\}
{ei,ej}间是不相关的，则意味着
{
e
i
,
e
j
}
\{e_i, e_j\}
{ei,ej}是独立的。着就是我们为什么喜欢高斯白噪声的原因。也就是，要生成高斯白噪声，序列需要从高斯分布中随机采样（不能按照某种规律采样）。
如何判断序列是否为白噪声
step1: 时序图验证期望和方差
step2: 验证相关性
画自相关图(acf)假设检验方法
德宾-瓦特逊检验 DW统计量只使用于检验一阶自相关性，所以目前不常用 # d=4: 存在负相关关系
# d=2: 基本没有自相关关系
# d=0: 存在正相关关系
d = sm.stats.durbin_watson(data)
Box-Ljung test/Q检验（目前最常用）BG检验 利用bartlett定理
实现
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
# 生成白噪声
white_noise=np.random.standard_normal(size=500)
fig = plt.figure(figsize=(12, 10))
ax0 = fig.add_subplot(311)
plt.plot(white_noise)
# acf & pacf
ax1 = fig.add_subplot(312)
# dta.values生成二维数组，每一个元素是一个特征数组
# dta.values将二维数组弄成一维数组
# 滞后0-40阶的自相关函数的值画到子图ax1上
fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(white_noise, lags=40, ax=ax1)
ax2 = fig.add_subplot(313)
fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(white_noise, lags=40, ax=ax2)
# Q检验
# 方法四： Q检验
r, q, p = sm.tsa.acf(white_noise, qstat=True)
data = np.c_[range(1, 41), r[1:], q, p]
table = pd.DataFrame(data, columns=['lag', 'AC', 'Q', 'Prob(>Q)'])
# Prob(>Q)即P值大部分都小于0.05，所以残差不是白噪声
print(table.set_index('lag'))
结果：
# 所有p值均大于0.05，接受原假设，无自相关
AC Q Prob(>Q)
lag
1.0 -0.053581 1.444106 0.229476
2.0 -0.035057 2.063523 0.356379
3.0 0.019875 2.263020 0.519642
4.0 -0.090659 6.422228 0.169757
5.0 -0.033935 7.006166 0.220182
6.0 0.039397 7.794804 0.253525
7.0 -0.022411 8.050520 0.328160
8.0 0.003968 8.058555 0.427771
9.0 -0.003797 8.065924 0.527517
10.0 0.012976 8.152174 0.613976
11.0 -0.036736 8.844892 0.636207
12.0 -0.039704 9.655727 0.646135
13.0 0.063198 11.714204 0.551207
14.0 -0.008406 11.750700 0.626316
15.0 0.038352 12.511923 0.639940
16.0 -0.054281 14.039908 0.595741
17.0 0.036416 14.729058 0.614990
18.0 0.016817 14.876331 0.670441
19.0 0.009264 14.921114 0.727598
20.0 0.012574 15.003787 0.776191
21.0 0.036801 15.713474 0.785528
22.0 0.096809 20.634780 0.543397
23.0 -0.007945 20.667993 0.601355
24.0 0.026049 21.025813 0.637202
25.0 0.012579 21.109430 0.686492
26.0 -0.006985 21.135263 0.734949
27.0 -0.000977 21.135769 0.779888
28.0 -0.038148 21.909656 0.785457
29.0 -0.026059 22.271533 0.808775
30.0 0.001191 22.272290 0.843957
31.0 -0.048612 23.536971 0.828974
32.0 0.051610 24.965517 0.807423
33.0 0.015994 25.103009 0.836132
34.0 -0.072480 27.932592 0.758828
35.0 0.052761 29.435216 0.733409
36.0 -0.008378 29.473186 0.770772
37.0 0.020629 29.703893 0.797410
38.0 0.004526 29.715024 0.829389
39.0 0.026392 30.094271 0.846185
40.0 -0.030071 30.587678 0.858200