蒙特卡洛（MC）强化学习算法全解析：从基础到进阶

一、引言

强化学习（Reinforcement Learning, RL）致力于解决智能体（Agent）在环境中通过交互学习最优策略的问题，蒙特卡洛（Monte Carlo, MC）方法作为其中一类基础且重要的算法，凭借利用完整Episode（从起始到终止的完整序列）数据学习的特性，在众多场景发挥作用。本文将围绕MC强化学习，从原理、算法到示例展开详细剖析 ，并结合Python代码模拟网格世界与算法流程。

二、Motivating Example（激发性示例）

1. 场景设定

假设我们要训练一个智能体玩简单的网格世界游戏（Grid World）。网格是一个4x4的方格，智能体从任意非终止状态出发，每次可选择上下左右移动，到达边界再移动会留在原地，进入终止状态（比如网格的四个角落）则Episode结束，每移动一步（除终止步）获得-1奖励，终止状态奖励为0 。

2. 问题引出

我们希望智能体找到从任意状态到终止状态的最优路径，使累积奖励最大。但初始时智能体对环境一无所知，不知道往哪个方向走更好。这就需要一种方法，让智能体通过不断尝试（生成Episode），学习每个状态的价值以及对应的最优动作，MC方法就能解决这类问题，因为它可以基于完整的Episode数据来更新状态价值和策略 。

三、The Simplest MC - based RL Algorithm（最简蒙特卡洛强化学习算法）

（一）Algorithm: MC Basic（算法：基础蒙特卡洛）

1. 原理

MC Basic的核心是利用经验平均来估计状态价值（State - Value）或动作价值（Action - Value）。对于状态价值函数V(s)V(s)V(s)（表示在状态sss下的期望累积奖励），如果我们有多个以状态sss为起点或经过状态sss的Episode，那么V(s)V(s)V(s)的估计值就是这些Episode中从sss出发到Episode结束的累积奖励的平均值 。

数学上，假设我们有N(s)N(s)N(s)个Episode包含状态sss，第iii个这样的Episode中从sss到结束的累积奖励为Gi(s)G_{i}(s)Gi​(s)，则状态价值的估计公式为：

V(s)←1N(s)∑i=1N(s)Gi(s)V(s) \leftarrow \frac{1}{N(s)} \sum_{i = 1}^{N(s)} G_{i}(s)V(s)←N(s)1​i=1∑N(s)​Gi​(s)

对于动作价值函数Q(s,a)Q(s,a)Q(s,a)（表示在状态sss下执行动作aaa的期望累积奖励），类似地，若有N(s,a)N(s,a)N(s,a)个Episode包含在状态sss执行动作aaa的情况，第iii个对应的累积奖励为Gi(s,a)G_{i}(s,a)Gi​(s,a)，则：

Q(s,a)←1N(s,a)∑i=1N(s,a)Gi(s,a)Q(s,a) \leftarrow \frac{1}{N(s,a)} \sum_{i = 1}^{N(s,a)} G_{i}(s,a)Q(s,a)←N(s,a)1​i=1∑N(s,a)​G